二维随机变量及其联合分布

1. 二维随机变量的定义

   
   

2.联合分布函数

（1）联合分布函数的定义

（2）联合分布函数的性质

3.联合分布列

（1）联合分布列的定义

（2）联合分布列的性质

4.联合分布密度

（1）联合分布密度的定义

（2）联合分布密度的性质

5.常用二维分布

（1）二维均匀分布

（2）二维正态分布

教学内容：

二维随机变量的定义、分布函数及其性质。二维离散型随机变量的分布列及性质、二维连续型随机变量的密度函数及概率计算。

教学目的：

（1）理解二维随机变量的实际意义，理解二维随机变量分布函数的意义，掌握二维随机变量分布函数的性质；

（2）熟练掌握二维离散型随机变量的定义，分布列的表示方法和性质，掌握二维离散型随机变量分布列的一般求解过程；

（3）理解二维连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，掌握由密度函数求概率的计算方法；

（4）了解二维均匀分布和二维正态分布的密度函数及其参数的意义。

教学过程：

一、多维随机变量

定义：若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y)是二维随机变量。同理可定义n维随机变量 (随机向量)。

二、二维随机变量分布函数的性质

1、二维随机变量分布函数的定义：

定义：设(X、Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数

F(x ,y）=p(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件(X≤x)与(Y≤y)同时发生的概率

2、二维随机变量分布函数的性质

1)0≤F(x,y)≤1；

2)F(x,y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；

3)对于任意固定的y, 当x趋于无穷时

；

4）对任意的x1 < x2,y1 < y2,随机点(X,Y)落入区域D={(x,y)|x1< x≤ x2,y1 < y ≤y2}内的概率：p=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

三、联合分布列

1.二维离散型随机变量的分布列

定义：如果二维随机变量(X,Y)可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj)(i,j=1,2,...)，且对应的概率为p(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…则称上式为二维随机变量(X,Y)的概率分布或X与Y的联合概率分布.

2.二维离散型随机变量的分布列的性质

1)pij≥0,i,j=1,2….

2）

3.二维离散型随机变量的分布列的求法

四、联合分布密度

1.二维连续型随机变量及其分布定义：

定义：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(X,Y)，如果存在非负可积的二元函数f（x,y），使得对任意实数x、y，有

，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f（x,y）为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数或随机变量X和Y的联合密度函数。

2.二维连续型随机变量联合密度函数的性质

1）；

2）；

3）若f（x,y）在点（x,y）处连续，则有

4）设D是xOy平面上任一区域，则点（x,y）落在D内的概率为

3.二维连续型随机变量的计算：

五、常用二维分布

1.二维均匀分布

定义：（二维均匀分布）设G平面上有界可求面积的区域，其面积为|G|维

随机变量（X,Y）具有密度函数f(x,y)：当(x,y)∈G时，f(x,y)=1/|G|；否则，f(x,y)=0.

则称（X,Y）服从区域G上的二维均匀分布。

2.二维均匀分布的应用

3.二维正态分布

定义：如果二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

则称(X,Y)服从二元正态分布，记为，其中-∞<μ1，μ2＜＋∞，σ1，σ2＞0，-1≤ρ≤1。

小汽车能跑多快？

某项调查表明：沈阳市区内私家车耗油量分三种：1.每消耗1加仑汽油可行驶低于22里的汽车占40%；2.每消耗1加仑汽油可行驶在22到25里间的汽车占40%；3.每消耗1加仑汽油可行驶高于25里的汽车占20%。如今有小汽车12辆，其中第一种有4辆，第二种有6辆，第三种有2辆的概率是多少？